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数学ガール/ゲーデルの不完全性定理

数学ガール/ゲーデルの不完全性定理数学ガール/ゲーデルの不完全性定理

ソフトバンククリエイティブ 2009-10-27
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0.9999...はちょうど1に等しいなんて、誰もが「え?」となるはずだ。

僕、テトラちゃんとミルカさんの3人の高校生と、妹ユーリによって「ゲーデルの不完全性定理」まで説明される。本書は「数学ガール」シリーズ3作目にあたるが、読んだのはこれが初めて。

ゲーデルの不完全性定理とあるが、いきなりここから入っていくのではなく、高校生以上なら誰でも理解できるように、自己言及のパラドックスとペアノの公理から入っていく。自己言及のパラドックスは次のようなもので頭もグルグル回ってしまう。

「私は嘘つきである」と私は言った。

扱う内容はさらに極限、イプシロン・デルタ論法、ヒルベルト計画に及び、最終的にゲーデルにたどり着く長旅だ。

読む前はタイトルとその評判から、物語重視で数学は脇役かなと想像していた。確かに読み物の形式をとっているが、軽んじてはいけない。内容は立派な数学である。ただ、普通の教科書なら数ページ読み進めるのに苦労するであろう箇所が、テトラちゃんが先に躓いて、ミルカさんが説明してくれるので、随分助けられる。

今まで分かってたつもりの極限や自然数が、改めて公理から再定義されていく。大学教養課程で数学を取った人なら、あーそういえばやったぞと思い出すだろう。高校の数学と大学の数学の大きな違いは、高校数学ではそれが簡単に図で描けるほど具体的であることだ。ベクトルは3次元までだし、微分は傾き、積分は面積と教わる。図で示されたら確かに理解できる。極限も、ある値に漸近するとグラフで理解できれば問題ない。

大学の数学になると、とたんに厳密であり抽象的になる。多くの学生は初めのイプシロン・デルタ論法とn次元に拡張された線形代数でやられてしまう。さらに工学系だと偏微分方程式はどっさり出てくるが、これら極限の話は何の役に立つのかいまいち分からない。ただ実学として不要かもしれないが、抽象的概念がつかめると面白いし、なんだか数学の階段を一つ上がった気持ちで、見え方が変わる。

大学数学に対する心の準備が出来ていないと、このギャップは想像以上だ。そう考えると本書は大学に入る直前に読むのが一番良いと思う。大学数学という抽象世界への準備とその面白さへの好奇心を同時に満たしてくれる。勿論大学を卒業してもなお好奇心旺盛な方にとっても、その欲求に余りある内容だ。

本書の説明はとても丁寧なので、高校までの数学の知識があれば、第9章までは読み進められると思う。ただ最後第10章のゲーデルはとたんに難しく理解できなかった。とにかく出てくる定義の数が多すぎる。ただ今回はゲーデル不完全性定理の香りが嗅げただけでも、何か偉大な作品に触れたようでとても気分がよい。次回どこかでゲーデルに出会ったら、さらに一歩理解を進めたい。


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