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ロシア人キノコ取りが解く「100年の難問はなぜ解けたのか」

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ミレニアム懸賞問題「ポアンカレ予想」を解いたのはロシア人のキノコ取り。

ミレニアム懸賞問題とは、クレイ数学研究所が2000年に100万ドルの懸賞金をかけた次の7つの問題だ。

1.P≠NP予想
2.ホッジ予想
3.ポアンカレ予想
4.リーマン予想
5.ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題
6.ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
7.バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

4のリーマン予想は先日NHKスペシャルで特集をやっていたが、「ゼータ関数の自明でない零点はすべて実数が1/2の直線状に存在する」というものだ。これが証明されると一見ランダムな並びと思われる素数に、実は規則性があるということになるらしい。

6のナビエストークスは流体の運動方程式で、2階の非線形偏微分方程式だ。流体の運動を表す本式が解けないがために、流体力学の計算は厄介なものとなっている。流体を簡単なモデルとして近似化するか、最近ではスパコンを使って直接数値シミュレーション(DNS)で解こうという試みが行われている。もしナビエストークス方程式を解く事ができれば、流体の運動方程式は明なものとなり、流体力学は凄まじい進歩を遂げるに違いない。一方仕方のないことだが、それと同時にこれまで行われてきたモデル化やDNSは廃れていくだろう。流体が専門ではないが,工学系なのでこの問題が一番身近である。

今回取り上げられたの「ポアンカレ予想」だ。内容そのものが難しいのだが
「単連結な三次元多様体は、三次元球面に同相である」
という予想だ。単語が難しいが、
・単連結=その表面にロープをかけたときに必ず回収できる
・三次元多様体=四次元空間の表面
・三次元球面=丸い四次元空間の表面
・同相=同じ
と読み替えて欲しい。

そしてこの問題が解けると、もしロープ片端を出発点に固定し、他端を結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきた時、ロープが回収できれば、宇宙は球形であるといえるのだ。

結局ミレニアム懸賞問題の中、このポアンカレ予想だけが唯一解かれた。勿論、突然解かれた訳でなく、それこそ100年の間をかけn次元に一般化され、nが5以上、N=4のときと少しずつ証明されていった。ポアンカレ予想であるn=3を証明したのはロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンである。そしてこれがかなりの変人。髭面で、フィールズ賞受賞を断り、今ではロシアでキノコ取りに励んでいるらしい。100年の難問を解いたのはやはり只者じゃない。これ以外にも沢山の逸話があり、人生の全てを費やさなければ到達できない頂点であったことを強く感じさせる。

ポアンカレ予想証明は次の3つの論文からなる。論文はarxivで発表されており、誰でも無料で読むことが出来る。

The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002
Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003


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